3.2_循环群与对称群_对称群.ZH解释

这部分内容旨在从最基本的定义开始，介绍对称群（Symmetric Group）这个核心概念。

1. 核心部件：集合与双射：
   • 首先，我们从一个任意的集合 $X$ 出发。这个集合 $X$ 是我们操作的对象，可以包含任何类型的元素，比如数字、字母、物品等。
   • 接下来，我们关注一种特殊的函数，叫做双射（bijection）。一个从集合 $X$ 到自身的函数 $f: X \to X$ 是一个双射，意味着它同时满足两个条件：
   • 单射（injective）：集合中不同的元素经过函数映射后，得到的结果也必须不同。即如果 $a \neq b$，那么一定有 $f(a) \neq f(b)$。它保证了没有“多对一”的映射。
   • 满射（surjective）：对于目标集合中的任何一个元素 $y$，都至少存在一个源集合中的元素 $x$，使得 $f(x) = y$。它保证了目标集合中的每个元素都被“击中”了。
   • 当一个函数既是单射又是满射时，它就是双射。直观上，一个从 $X$ 到自身的双射就是对 $X$ 中元素的一种“重新排列”或者“一一对应”的重组，没有遗漏也没有重复。
2. 置换：
   • 当集合 $X$ 是一个有限集时，从 $X$ 到自身的双射有一个更简洁、更常用的名字，叫做置换（permutation）。比如，如果 $X = \{A, B, C\}$，一个置换可以是把 A 映到 B，B 映到 C，C 映到 A。
3. 构成一个群：
   • 我们将所有这些从 $X$ 到自身的置换（或双射）收集起来，形成一个新的集合，记作 $S_X$。
   • 现在，我们需要一个二元运算。对于函数来说，最自然的运算就是函数复合（function composition）。如果我们有两个置换 $f$ 和 $g$，它们的复合 $f \circ g$ 定义为先对一个元素应用 $g$，再对结果应用 $f$。即 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$。
   • 这个集合 $S_X$ 在函数复合这个运算下，满足了群的四个基本公理：
   • 封闭性：两个双射的复合仍然是一个双射。所以，如果 $f, g \in S_X$，那么 $f \circ g \in S_X$。
   • 结合律：函数复合天然满足结合律，即 $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$。
   • 单位元：存在一个恒等置换（identity permutation），记作 $id$，它将每个元素映射到自身，即 $id(x) = x$。对于任何置换 $f$，都有 $f \circ id = id \circ f = f$。
   • 逆元：因为每个置换都是双射，所以它一定有逆函数 $f^{-1}$，并且这个逆函数也一定是一个双射。因此，对于每个 $f \in S_X$，都存在一个 $f^{-1} \in S_X$，使得 $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = id$。
   • 因此，$(S_X, \circ)$ 构成了一个群。
4. 对称群 $S_n$：
   • 这是一个特例，也是最重要的例子。我们不再考虑任意集合 $X$，而是专注于一个非常具体的集合：$\{1, 2, \ldots, n\}$，即从 1 到 $n$ 的所有正整数。
   • 作用在这个集合上的置换群就被称为n次对称群，记作 $S_n$。
   • $S_n$ 的元素就是对数字 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 的各种排列。
   • $S_n$ 的群运算就是函数复合。
5. $S_n$ 的性质：
   • 阶（大小）：集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 有多少种不同的排列方式呢？第一个元素有 $n$ 种选择，第二个有 $n-1$ 种，以此类推，总共有 $n \times (n-1) \times \ldots \times 1 = n!$ 种。所以，$S_n$ 这个群里有 $n!$ 个元素。
   • 交换性（阿贝尔性）：当 $n \geq 3$ 时，$S_n$ 不是阿贝尔群，也就是说函数复合的顺序很重要，$\sigma \circ \tau$ 不一定等于 $\tau \circ \sigma$。
6. 同构：
   • 这个概念说明，只要两个有限集合的元素数量相同，它们的置换群在结构上就是完全一样的。
   • 假设有一个集合 $X$，它有 $n$ 个元素。我们可以给这些元素贴上标签，比如 $x_1, x_2, \ldots, x_n$。
   • 现在，任何一个对 $X$ 的置换 $f$，都会把某个 $x_i$ 变成另一个 $x_j$。这个过程实际上就是对标签 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 做了一次置换 $\sigma$。
   • 这个从 $S_X$ 到 $S_n$ 的对应关系 $F(f) = \sigma$ 是一个同构（isomorphism）。同构意味着这两个群虽然元素的名字不同（一个是操作 $x_i$，一个是操作数字 $i$），但它们的运算结构、乘法表是完全一致的，可以互相“翻译”。
   • $f(x_i) = x_j = x_{\sigma(i)}$ 这个式子是关键。$f$ 作用在 $x_i$ 上，得到 $x_j$。我们把这个过程看作是对应的置换 $\sigma$ 把下标 $i$ 变成了下标 $j$。所以我们定义 $F(f) = \sigma$ 的方式就是 $\sigma(i) = j$。

这部分内容是为了简化记号，并再次强调运算规则。

1. 元素表示：
   • $S_n$ 的元素（即置换）通常用小写希腊字母来表示，如 $\sigma$ (sigma), $\tau$ (tau), $\rho$ (rho) 等。这是一种数学惯例，便于将它们与普通数字或变量区分开。
2. 单位元表示：
   • 群中的单位元，也就是恒等置换（将每个元素映射到自身的置换），通常用数字 1 来表示。这比写 $e$ 或者 $id$ 更简洁。在群论中，当上下文清晰时，用 1 代表乘法单位元是非常普遍的。
3. 运算表示：
   • 函数复合运算 $\circ$ 将被省略，直接使用并置（juxtaposition）来表示，就像代数中的乘法一样。所以，$\sigma \circ \tau$ 会被写作 $\sigma\tau$。
   • 偶尔，为了清晰起见，也会使用一个点 ⋅ 来表示运算，写作 $\sigma \cdot \tau$。
   • 这种记法上的简化，使得置换的运算看起来更像普通数字的乘法，但其内在含义仍然是函数复合。
4. 运算顺序的重申：
   • 这是本段最重要的提醒。虽然我们把记号写得像乘法，但其本质是函数作用。因此，$\sigma\tau$ 作用在一个元素 $i$ 上，写作 $\sigma\tau(i)$，其计算顺序是从右向左的。
   • 首先，计算 $\tau(i)$，得到一个结果，我们称之为 $j$。
   • 然后，将这个结果 $j$ 代入 $\sigma$ 中，计算 $\sigma(j)$。
   • 所以，$\sigma\tau(i) = \sigma(\tau(i))$。这个顺序绝对不能错。

这部分引入了一个非常重要的概念——支持集，它帮助我们关注一个置换中真正“有动作”的部分。

1. 移动（move）与固定（fix）：
   • 给定一个置换 $\sigma$ 和一个元素 $i$（来自集合 $\{1, \ldots, n\}$）。
   • 我们检查 $\sigma$ 对 $i$ 做了什么。有两种可能：
   • 移动：如果 $\sigma(i)$ 的结果不是 $i$ 本身（$\sigma(i) \neq i$），我们就说 $\sigma$ 移动了 $i$。这个元素的位置被改变了。
   • 固定：如果 $\sigma(i)$ 的结果仍然是 $i$（$\sigma(i) = i$），我们就说 $\sigma$ 固定了 $i$。这个元素的位置保持不变。
2. 支持集的定义：
   • 一个置换 $\sigma$ 的支持集（Support），记作 $\operatorname{Supp} \sigma$，就是所有被 $\sigma$ 移动的元素的集合。
   • 用集合语言来描述，就是 $\operatorname{Supp} \sigma = \{i \in \{1, \ldots, n\} \mid \sigma(i) \neq i\}$。
3. 支持集的意义：
   • 支持集是置换的“活性区域”。所有不在支持集中的元素都是被固定的，也就是这个置换对它们“不感兴趣”或“没有影响”。
   • 这个概念非常有用，因为它允许我们专注于置换真正改变的部分，尤其是在处理不相交置换时。
4. 恒等置换的支持集：
   • 恒等置换，我们记作 1，它的作用是 $\sigma(i) = i$ 对于所有的 $i$。
   • 根据定义，恒等置换不会移动任何元素。
   • 因此，恒等置换的支持集是空集（$\emptyset$）。
   • 反过来也成立：如果一个置换的支持集是空集，意味着它没有移动任何元素，那么它必然是恒等置换。
   • 所以，$\operatorname{Supp} \sigma = \emptyset$ 和 $\sigma = 1$ 是等价的。

这部分通过几个具体的例子，展示了在庞大的对称群 $S_n$ 内部，可以找到一些具有特定性质、自身也构成群的子集，即子群。

1. 固定单个元素的子群 $H_i$：
   • 首先定义了一个特殊的子集 $H_n$。它的元素是 $S_n$ 中所有那些固定数字 $n$ 的置换。换句话说，如果你是 $H_n$ 里的一个置换 $\sigma$，那么你必须满足 $\sigma(n)=n$ 这个条件。
   • 验证它是子群：
   • 封闭性：取两个 $H_n$ 中的置换 $\sigma$ 和 $\tau$。这意味着 $\sigma(n)=n$ 且 $\tau(n)=n$。那么它们的乘积 $\sigma\tau$ 作用于 $n$ 是什么呢？$\sigma\tau(n) = \sigma(\tau(n)) = \sigma(n) = n$。结果仍然固定 $n$，所以 $\sigma\tau \in H_n$。
   • 单位元：恒等置换 1 固定所有元素，当然也固定 $n$，所以 $1(n)=n$。因此 $1 \in H_n$。
   • 逆元：如果 $\sigma \in H_n$，即 $\sigma(n)=n$。对这个等式两边同时作用 $\sigma^{-1}$，得到 $\sigma^{-1}(\sigma(n)) = \sigma^{-1}(n)$。左边是 $\sigma^{-1}\sigma(n) = 1(n) = n$。所以我们有 $n = \sigma^{-1}(n)$。这说明 $\sigma^{-1}$ 也固定 $n$，因此 $\sigma^{-1} \in H_n$。
   • 满足这三条，所以 $H_n$ 是 $S_n$ 的一个子群。
   • 与 $S_{n-1}$ 同构：
   • $H_n$ 里的置换从不触碰元素 $n$。它们的所有“动作”都发生在集合 $\{1, 2, \ldots, n-1\}$ 上。
   • 任何一个 $H_n$ 中的置换 $\sigma$，当你只观察它对 $\{1, 2, \ldots, n-1\}$ 的作用时，它就是一个对这 $n-1$ 个元素的置换。这正好是 $S_{n-1}$ 中一个元素的定义。
   • 反过来，任何一个 $S_{n-1}$ 中的置换（它只作用于 $\{1, \ldots, n-1\}$），我们都可以将它“扩展”成 $S_n$ 中的一个置换，只要规定它固定 $n$ 即可。这个扩展后的置换就属于 $H_n$。
   • 这种一一对应关系保持了运算结构，因此 $H_n$ 同构于 $S_{n-1}$。
   • 推广到 $H_i$：
   • 这个想法可以推广。不一定非要固定 $n$，我们可以固定任何一个元素 $i$。
   • 定义 $H_i = \{\sigma \in S_n : \sigma(i) = i\}$，即所有固定 $i$ 的置换构成的集合。
   • 用完全相同的逻辑，可以证明 $H_i$ 是一个子群。
   • $H_i$ 中的置换只在集合 $\{1, \ldots, n\} - \{i\}$ 上进行排列组合。这个集合有 $n-1$ 个元素。
   • 因此，$H_i$ 也同构于 $S_{n-1}$。

这部分介绍了另一种构造子群的方法，不是固定单个元素，而是保持一个元素的子集不变。

1. 构造思想：
   • 首先，我们将集合 $\{1, \ldots, n\}$ 分成两部分。比如，第一部分是 $\{1, \ldots, n_1\}$，第二部分是 $\{n_1+1, \ldots, n\}$ (原文中 $n_2$ 有误，应为 $n$)。
   • 我们现在关注这样一类置换 $\sigma$：它可能会打乱第一部分内部的元素，也可能会打乱第二部分内部的元素，但它绝不会把第一部分的元素和第二部分的元素混在一起。
   • 换句话说，任何在第一部分的元素，经过 $\sigma$ 作用后，仍然落在第一部分。
2. 子群 $H_{n_1, n_2}$ 的定义：
   • $H_{n_1, n_2}$ (这里 $n_2$ 指的是第二部分的个数，即 $n_2 = n - n_1$) 是 $S_n$ 的一个子集，其元素 $\sigma$ 满足条件 $\sigma(\{1, \ldots, n_1\}) = \{1, \ldots, n_1\}$。
   • 这个条件的含义是，置换 $\sigma$ 作用在集合 $\{1, \ldots, n_1\}$ 上，得到的结果集合仍然是 $\{1, \ldots, n_1\}$。这不意味着每个元素被固定，而是说这个子集整体上是封闭的，像一个“围栏”。
3. 自动保持第二个子集不变：
   • 原文指出，如果一个置换 $\sigma$ 保持了第一个子集 $\{1, \ldots, n_1\}$，那么它也必须自动保持第二个子集 $\{n_1+1, \ldots, n\}$。
   • 这是因为 $\sigma$ 是一个双射。如果它把一个不在第一个子集里的元素（即来自第二个子集的元素）映射到了第一个子集里，那么为了满足单射，必然有一个第一个子集里的元素被映射到了外面，这与条件 $\sigma(\{1, \ldots, n_1\}) = \{1, \ldots, n_1\}$ 矛盾。同样，为了满足满射，第二个子集也必须被完整地映射到自身。
   • 所以，$\sigma \in H_{n_1, n_2}$ 就意味着，$\sigma$ 的作用被分成了两个独立的部分：一部分在 $\{1, \ldots, n_1\}$ 上，另一部分在 $\{n_1+1, \ldots, n\}$ 上。
4. 与笛卡尔积同构：
   • 这种“独立性”正是群的笛卡尔积（Cartesian product）的特征。
   • $S_{n_1} \times S_{n_2}$ 这个群的元素是有序对 $(\rho, \tau)$，其中 $\rho \in S_{n_1}$ 并且 $\tau \in S_{n_2}$。它的运算是分量式的：$(\rho_1, \tau_1) \cdot (\rho_2, \tau_2) = (\rho_1\rho_2, \tau_1\tau_2)$。
   • 对于 $H_{n_1, n_2}$ 中的任何一个置换 $\sigma$，我们可以把它看成由两部分组成：
   • 它在 $\{1, \ldots, n_1\}$ 上的作用，这本身就是一个 $S_{n_1}$ 中的置换，我们称之为 $\rho$。
   • 它在 $\{n_1+1, \ldots, n\}$ 上的作用，这相当于一个对 $n_2$ 个元素的置换，也就是 $S_{n_2}$ 中的一个元素，我们称之为 $\tau$。
   • 因此，我们可以建立一个从 $H_{n_1, n_2}$到 $S_{n_1} \times S_{n_2}$ 的映射，把 $\sigma$ 映射到 $(\rho, \tau)$。
   • 这个映射是一一对应的，并且保持了运算结构（即同构）。

这部分继续列举 $S_n$ 中重要的子群类型，并引出了一个群论中的里程碑式定理——凯莱定理，以强调对称群的普适性和复杂性。

1. 循环子群：
   • 考虑一个特定的置换 $\sigma$，它把元素 $1 \to 2, 2 \to 3, \ldots, (n-1) \to n$，最后把 $n \to 1$。这其实就是我们后面会定义的循环 $(1, 2, \ldots, n)$。
   • 这个置换的阶（order）是 $n$。阶的定义是，需要将 $\sigma$ 与自身复合多少次才能得到恒等置换 1。这里显然需要复合 $n$ 次，$\sigma^n=1$。
   • 由单个元素 $\sigma$ 生成的子群，记作 $\langle\sigma\rangle$，其元素为 $\{\sigma^0, \sigma^1, \sigma^2, \ldots, \sigma^{n-1}\}$。这是一个包含 $n$ 个元素的子群。
   • 这个子群的结构与模n加法群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是同构的。$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的元素是 $\{0, 1, \ldots, n-1\}$，运算是模 $n$ 加法。$\sigma^k \leftrightarrow k$ 这个映射就是一个同构。
   • 这说明，我们可以在 $S_n$ 中找到一个子群，它的行为和时钟算术一模一样。
2. 二面体群 $D_n$：
   • 二面体群 $D_n$ 是研究正 $n$ 边形对称性的群。它的元素是所有能让正 $n$ 边形看起来不变的刚体变换（旋转和翻转）。
   • 我们可以给这个正 $n$ 边形的 $n$ 个顶点从 1 到 $n$ 编号。
   • $D_n$ 中的每一个对称操作（比如旋转 $360/n$ 度，或者沿着某条对称轴翻转），都会引起顶点位置的改变，这实际上就是对顶点集合 $\{1, \ldots, n\}$ 的一个置换。
   • 因此，$D_n$ 中的每个元素都可以对应到 $S_n$ 中的一个元素。这种对应关系是一个单同态（injective homomorphism），所以我们可以认为 $D_n$ 是 $S_n$ 的一个子群（或者严格来说，同构于 $S_n$ 的一个子群）。
   • $D_n$ 的大小（阶）是 $2n$（包含 $n$ 个旋转和 $n$ 个翻转）。
   • $S_n$ 的大小是 $n!$。当 $n \geq 4$ 时，$n!$ 远大于 $2n$。例如，$n=4$ 时，$4!=24 > 2 \times 4=8$。
   • 这意味着，当 $n \geq 4$ 时，$D_n$ 只是 $S_n$ 中一个很小的子群，即真子群（proper subgroup）。
3. 凯莱定理（Cayley's Theorem）：
   • 这是一个非常深刻和强大的结论，它揭示了对称群的根本重要性。
   • 定理内容：任何一个有限群 $G$，无论它定义得多么抽象，我们总能找到一个足够大的对称群 $S_n$，使得 $G$ 同构于 $S_n$ 的一个子群。
   • 具体来说，我们可以取 $n$ 等于 $G$ 的阶（$|G|$）。
   • 这个定理的震撼之处在于，它说明对称群 $S_n$ 包含了所有可能有限群的结构信息。研究对称群的子群，在某种意义上，就是研究所有可能的有限群。
4. 结论：$S_n$ 的复杂性：
   • 正是因为凯莱定理，$S_n$ 被认为是极其复杂的群。它像是一个“群的宇宙”，容纳了所有有限群作为其内部的“星系”（子群）。

这部分介绍了一种最直观、最基础的表示置换的方法，即矩阵表示法（或称两行表示法）。

1. 从函数值表开始：
   • 一个函数 $\sigma$ 从集合 $\{1, \ldots, n\}$ 映到自身，其最完整的描述方式就是列出每个输入 $i$ 对应的输出 $\sigma(i)$。
   • 这可以做成一个表格，第一行是输入 $1, 2, \ldots, n$，第二行是对应的输出 $\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(n)$。
2. 矩阵表示法：
   • 这个表格可以更紧凑地写成一个 $2 \times n$ 的矩阵形式。
   • 第一行固定为 $1, 2, \ldots, n$，按顺序排列。
   • 第二行则是在第 $i$ 列的位置上，写下 $\sigma(i)$ 的值。
   • 这种表示法非常清晰地展示了每个元素的去向。
3. 置换的条件：
   • 并不是任何满足这种形式的矩阵都代表一个置换。
   • 一个函数是置换（即双射），要求它既是单射又是满射。
   • 对于有限集合，单射、满射、双射是等价的。我们只需检查一个即可。
   • 在矩阵表示法中，单射意味着第二行的所有元素必须互不相同。
   • 满射意味着第二行的元素必须包含 $\{1, \ldots, n\}$ 中的所有数字。
   • 综合起来，$\sigma$ 是一个置换的充要条件是：矩阵的第二行恰好是 $1, 2, \ldots, n$ 的一个重新排列。
4. 冗余与其它表示：
   • 因为第一行总是固定不变的 $1, 2, \ldots, n$，所以它实际上是多余的信息。
   • 理论上，我们只需要记录第二行 $(\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(n))$ 这个有序的 $n$-元组就足以描述这个置换了。这种表示法也叫作单行表示法。
   • 但是，原文特别提醒，不要把这种单行表示法与后面要讲的循环表示法混淆，因为它们虽然都用括号括起一串数字，但含义完全不同。

这部分通过一个例子指出了矩阵表示法的缺点，并预告了将要介绍的、更强大的循环表示法。

1. 举例说明：
   • 给出了一个 $S_8$ 中的置换 $\sigma$ 的矩阵表示。
   • 通过这个矩阵，我们可以直接读出信息，例如第一列告诉我们 $\sigma(1)=2$，第五列告诉我们 $\sigma(5)=5$。
2. 点明缺点：
   • 繁琐（cumbersome）：当 $n$ 很大时，写出这个 $2 \times n$ 的矩阵需要大量的空间和书写。对于 $S_{20}$，你需要写 40 个数字。
   • 不适合计算（not well-suited for computation）：
   • 当计算两个置换的乘积 $\sigma\tau$ 时，你需要对每个元素 $i$ 进行一次“查找-跳转”操作：先在 $\tau$ 的第一行找到 $i$，看下面得到 $\tau(i)$，然后再到 $\sigma$ 的第一行找到 $\tau(i)$，再看下面得到最终结果 $\sigma(\tau(i))$。这个过程非常机械和低效。
   • 更重要的是，这种表示法掩盖了置换的内在结构。从这个矩阵里，你很难一眼看出这个置换到底在做什么。它只是一个原始的数据列表。
3. 引出新方法：
   • 作者预告，将要介绍一种更有效（more efficient）的方法。
   • 这个新方法的策略是“分而治之”：
   • 首先，定义一类非常简单的、基础的置换，称为循环（cycles）。
   • 然后，证明任何一个复杂的置换，都可以被看作是若干个这种简单的循环的乘积（复合）。
   • 这种分解方法不仅书写简洁，更重要的是它揭示了置换的结构，并且这种分解在某种意义上是唯一的。

这部分正式定义了循环这一基本构件。

1. 循环的本质：
   • 一个循环是一种非常特殊的置换。它的作用是让一小组元素“循环”起来，像接龙一样，而让其他所有元素保持不动。
   • 首先，我们从 $\{1, \ldots, n\}$ 中选出 $k$ 个不同的元素，记作 $a_1, a_2, \ldots, a_k$。
   • 我们将它们按特定顺序列成一个有序的元组 $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$。这个元组就代表一个置换。
2. 循环的作用规则：
   • 这个记号 $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ 所代表的置换规则如下：
   • 向前传递：把 $a_1$ 变成 $a_2$，把 $a_2$ 变成 $a_3$，...，一直到把 $a_{k-1}$ 变成 $a_k$。简单说，就是把每个元素变成它在列表中的下一个。
   • 收尾：把列表中的最后一个元素 $a_k$ 变回第一个元素 $a_1$。这样就形成了一个闭环。
   • 固定其他：对于任何不在这 $k$ 个元素列表中的元素 $j$，它被固定，即 $\sigma(j)=j$。
3. 命名和长度：
   • 这种置换被称为 $k$-循环 或 长度为 $k$ 的循环。长度就是参与循环的元素个数。
4. 循环的支持集：
   • 一个循环 $(a_1, \ldots, a_k)$ 移动了哪些元素？正是 $a_1, \ldots, a_k$ 这些元素。
   • 因此，当 $k>1$ 时（$k=1$ 的情况比较特殊，是恒等置换），这个循环的支持集就是集合 $\{a_1, \ldots, a_k\}$。
   • 对于一个 $k$-循环（$k>1$），一个元素 $i$ 被移动，当且仅当 $i$ 在这个循环的支持集中。
5. 不相交循环：
   • 这是个非常重要的概念。如果两个循环，它们的支持集完全没有共同的元素，我们就称这两个循环是不相交的（disjoint）。
   • 例如，$(1, 2)$ 和 $(3, 4, 5)$ 是不相交的，因为它们的支持集 $\{1, 2\}$ 和 $\{3, 4, 5\}$ 的交集是空集。
   • 而 $(1, 2)$ 和 $(2, 3)$ 不是不相交的，因为它们的支持集 $\{1, 2\}$ 和 $\{2, 3\}$ 有共同元素 2。
   • 不相交意味着这两个循环操作的“领地”完全分开，互不干涉。

本节强调了循环中元素顺序的重要性。 循环 $(a_1 \ldots a_k)$ 和 $(a_k \ldots a_1)$ 代表不同的置换。 虽然它们都涉及相同的元素，但它们的置换顺序不同，导致了不同的最终结果。 交换了顺序后，元素映射的关系也随之改变。

本节介绍了如何找到一个循环的逆。 循环的逆置换将置换操作“反向”过来。 找到循环逆的方法是将循环中的元素反转其顺序，也就是说，把循环中的元素进行逆向排列， 就得到了该循环的逆。

本节定义了一种特殊的循环——对换（或置换），它是长度为 2 的循环。对换是最简单的置换类型，它只交换集合中两个元素的位置。 由于其简单性，对换构成了置换分解的基本单元。

该节的核心是：任何长度为 k 的循环都可以分解成 (k-1) 个对换的乘积。 这种分解虽然不唯一，但它提供了一种将更复杂的循环表示为更简单的对换的方法。 分解的方法有多种，但是分解后的对换个数总是确定的。

本节定义了不相交循环的概念，并指出不相交循环是可交换的。 不相交循环是指它们不共享任何共同元素。 它们的可交换性意味着它们的乘积的顺序并不重要，两个置换的顺序可以互换而不影响结果。

本节强调了任何置换都可以唯一地分解为不相交循环的乘积，尽管这种分解的顺序可以改变。 这种分解是不相交循环乘积的核心性质。 置换可以被分解成唯一的、不相交的循环组合。

本节阐述了置换的符号，它与置换分解成对换的乘积有关。 置换的符号表明置换是偶置换（由偶数个对换组成）还是奇置换（由奇数个对换组成），即，确定一个置换是偶置换还是奇置换，取决于它分解为对换的乘积时的对换个数。

本节给出了计算置换符号的另一种方法，即根据其分解成不相交循环的乘积。 特别地， 给出了k-循环的符号计算公式。 我们可以通过考虑其构成不相交循环的乘积来确定一个置换的符号，例如，一个 $k$-循环的符号可以通过给定的公式计算得出。

本节继续对定理 2.1.4 的证明， 采用归纳法来证明，对于任意的 $a \in G$，都存在一个有限的 $k$，使得 $a^k = e$。 证明的思路是利用归纳法来保证，有限群中的任意元素，一定有有限的阶。

本推论重申了前面提到的关于元素阶与群阶之间的关系。 对于有限群中的每个元素，其阶必须整除群的阶。 这与注 2.1.4 中已经提到的内容一致。

本节定义了置换的符号，这是一个将每个置换映射到 +1 或 -1 的函数。 符号用于区分置换的两种主要类型：偶置换和奇置换。 置换的符号是置换理论中的一个重要概念，它有助于对置换进行分类。

本定理阐述了符号与置换乘积之间的关系。 它指出，两个置换乘积的符号等于它们各自符号的乘积。 置换乘积的符号等于各个置换符号的乘积。

本定理阐述了对换的符号是 -1。 对换是交换集合中两个元素的置换，并且，任何一个对换，其符号都是 -1。

本节定义了交错群。 交错群是置换群的一个子群，由所有偶置换组成。 交错群由对称群中所有符号为 1 的置换构成。

本节再次强调了交错群的定义，将交错群定义为由偶置换构成的子群。

本节给出了交错群 A3 的一个具体例子。 A3 是集合 {1, 2, 3} 上的交错群。 本例给出了在3个元素上交错群的明确元素。

本引理阐述了交错群的大小与对称群大小之间的关系。 交错群的大小是对称群大小的一半。 交错群的阶数是对称群阶数的一半。

本节给出了交错群 A_n 的通用定义， 即，在 n 个元素上的交错群。 本定义给出了交错群的简写。

本推论断言：对于 $n$ 大于或等于 2 的情况，交错群 $A_n$ 不是循环群。 交错群的该性质，对循环群不成立。

本节给出了一个关于交错群的例子，说明 3-循环是偶置换。 给出了 $A_n$ 中 3-循环的性质。

本命题描述了当且仅当置换可以被写成有限个 3-循环的乘积。 该命题指出了： 一个置换能写成有限个3-循环乘积的充分必要条件是该置换是偶置换。

本节介绍了交错群 An 的重要性质：当 n 大于或等于 5 时，An 是一个非交换单群。

本节给出了定理 2.2.2 的三个证明。 该定理说明，对换的符号为 -1，即，交换两个元素的置换是奇置换。

证法一:

• [逐步解释]

该证明直接使用了符号的定义，即，$\text{sgn}(\sigma) = \prod_{i < j} \frac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i - j}$，并针对对换进行计算。 它考虑了对换对分子和分母的影响，从而推导出符号为 -1。

• [公式与符号逐项拆解和推导（ 若本段含公式）]
• $\text{sgn}(\sigma) = \prod_{i < j} \frac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i - j}$ (符号的定义)
• $\sigma = (a\ b)$ 是对换。
• 对于不等于 $a$ 和 $b$ 的 $i$ 和 $j$， $\frac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i - j} = 1$
• 不妨设 $a < b$。
• $\text{sgn}(\sigma)$ 只与包含 $a$ 或 $b$ 的项有关。
• 展开乘积，考虑 a, b 的位置。
• 经过化简，最终得到 -1。

• [具体数值示例]

(无需数值示例，证明是通用的)

• [易错点与边界情况]
• 符号的定义: 正确应用符号的定义。
• 对换的性质: 知道对换只交换两个元素。
• 分情况讨论: 分情况讨论 i 和 j 与 a 和 b 的关系，将乘积展开。
• 代数运算: 正确进行代数化简。

• [总结]

该证明直接计算了对换的符号，表明其值为 -1。

• [存在目的]

提供了对换的符号的直接计算。

• [直觉心智模型]

对换会改变分子，使得其符号反转。

• [直观想象]

直观地展示了对换导致符号反转的过程。

证法二:

• [逐步解释]

该证明将对换表示为一系列相邻对换的乘积。由于相邻对换的个数是奇数，因此对换的符号为 -1。

• [公式与符号逐项拆解和推导（ 若本段含公式）]
• $\sigma = (a\ b)$ 是对换。
• $\sigma$ 可以写成相邻对换的乘积。
• 相邻对换的个数是奇数。
• 根据定理，对换的符号为 -1。

• [具体数值示例]

(无需数值示例，证明是通用的)

• [易错点与边界情况]
• 对换的分解: 熟练地分解对换。
• 相邻对换: 相邻对换是指交换相邻元素的对换。
• 奇数个对换: 理解奇数个对换产生奇置换。

• [总结]

该证明通过将对换分解成奇数个相邻对换的乘积，从而证明了对换的符号为 -1。

• [存在目的]

提供了对换的另一种分解方式，从而证明了符号。

• [直觉心智模型]

把对换看作一系列相邻元素的交换，需要奇数步。

• [直观想象]

通过移动牌来解释。

证法三:

• [逐步解释]

该证明使用了对换的性质：对换的平方是恒等置换，这意味着其符号的平方为 1。由于对换不是恒等置换，所以其符号必须为 -1。

• [公式与符号逐项拆解和推导（ 若本段含公式）]
• $\sigma = (a\ b)$ 是对换。
• $\sigma^2 = e$。 对换的平方是恒等置换。
• 因此 $\text{sgn}(\sigma)^2 = 1$。
• 由于 $\sigma \ne e$, 所以 $\text{sgn}(\sigma) = -1$。

• [具体数值示例]

(无需数值示例，证明是通用的)

• [易错点与边界情况]
• 对换的平方: 对换的平方是恒等置换。
• 符号的性质: 符号的平方为 1。
• 非恒等置换: 对换不是恒等置换。

• [总结]

该证明利用了对换的平方是恒等置换，从而证明了对换的符号为 -1。

• [存在目的]

提供了对换的更简洁的证明。

• [直觉心智模型]

利用对换的自反性。

• [直观想象]

利用牌的例子说明。

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行间公式索引

1. $\text{sgn}(\sigma) = \prod_{i < j} \frac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i - j}$: 置换 $\sigma$ 的符号的定义，通过乘积表示。
2. $\text{sgn}(\sigma \tau) = \text{sgn}(\sigma) \text{sgn}(\tau)$: 置换乘积的符号等于各个置换符号的乘积。
3. $(a_1\ a_2\ ...\ a_k) = (a_1\ a_2)(a_2\ a_3)...(a_{k-1}\ a_k)$： k-循环可以分解为 k-1 个对换的乘积。
4. $\sigma = (a\ b)$: 对换的表示，交换 a 和 b 两个元素。
5. $\text{sgn}(\sigma) = \pm 1$ : 置换的符号结果只有两种可能性，+1 或者 -1。
6. $|A(X)| = \frac{|S(X)|}{2}$: 交错群的大小是对称群的一半。
7. $O_G(x) = \{y \in X: \exists \sigma \in G, \sigma(x) = y\}$: 元素 x 在 G 下的轨道的定义。
8. $a^n = e$： 群中元素自乘 n 次后等于单位元。
9. $\text{sgn}(\sigma) = -1$: 对换的符号为 -1。
10. $(-1)^{k-1}$： k-循环的符号的计算公式。

[[END_OF_RESPONSE]]

...一个特殊的置换，它将列表中的元素循环移位，同时保持列表外的所有元素不变。本段还定义了不相交循环，即两个支持集（被移动的元素集合）没有交集的循环。这个概念是后续置换分解理论的基石。

这部分开始详细探讨循环的一些基本性质，首先从最简单也最特殊的 1-循环开始。

1. 1-循环的本质：
   • 一个 1-循环，写作 $(a_1)$。
   • 根据循环的定义，它应该把 $a_1$ 映射到 $a_1$（因为列表的最后一个元素要映射回第一个），并固定所有其他不等于 $a_1$ 的元素。
   • 所以，这个置换的作用是：对于任何元素 $i$，都有 $\sigma(i)=i$。
   • 这正是恒等置换（或恒等函数）1 的定义。
   • 结论：任何 1-循环，不管它里面写的是哪个元素，它所代表的置换都是同一个——恒等置换。
2. 实践中的约定：
   • 因为 1-循环总是恒等置换，它在置换的乘积中不起任何作用（乘以单位元等于本身），所以在实际书写循环分解时，我们通常会省略掉所有的 1-循环。
   • 我们只关注那些真正“有动作”的循环，即长度至少为 2 的循环。
3. 长度 $\geq 2$ 的循环不是单位元：
   • 如果一个循环 $\sigma = (a_1, \ldots, a_k)$ 的长度 $k \geq 2$，那么它至少包含两个不同的元素 $a_1$ 和 $a_2$。
   • 根据定义，$\sigma(a_1) = a_2$。
   • 因为 $a_1 \neq a_2$，所以 $\sigma(a_1) \neq a_1$。
   • 这意味着 $\sigma$ 移动了元素 $a_1$。
   • 而恒等置换 1 固定所有的元素。
   • 因此，任何长度大于等于 2 的循环都不可能是恒等置换。

这部分为一种最基本、最重要的循环类型——2-循环——给出了专门的名称和描述。

1. 命名：
   • 长度为 2 的循环，如 $(a_1, a_2)$，有一个专门的名字：对换（transposition）。
2. 作用：
   • 根据循环的定义，$(a_1, a_2)$ 的作用是：
   • $a_1 \to a_2$
   • $a_2 \to a_1$
   • 所有其他的元素 $j$ (其中 $j \neq a_1$ 且 $j \neq a_2$) 都被固定 ($j \to j$)。
   • 简单来说，它的唯一作用就是把 $a_1$ 和 $a_2$ 这两个元素的位置互换。
3. 唯一性：
   • 在 $S_n$ 中，实现“只交换 $a_1$ 和 $a_2$ 的位置，其他都不动”这个效果的置换，是唯一的，就是对换 $(a_1, a_2)$。

这部分讨论了在循环表示法中，数字的书写顺序是否重要。

1. 对换的情况 ($k=2$)：
   • 考虑对换 $(a_1, a_2)$。它的作用是 $a_1 \leftrightarrow a_2$。
   • 考虑对换 $(a_2, a_1)$。它的作用是 $a_2 \leftrightarrow a_1$。
   • 这两种描述实际上说的是同一件事：把 $a_1$ 和 $a_2$ 换位置。
   • 因此，对于对换来说，括号里两个元素的顺序是无关紧要的：$(a_1, a_2) = (a_2, a_1)$。
2. 长度 $\geq 3$ 的循环：
   • 当循环的长度大于等于 3 时，情况就不同了。元素的顺序变得至关重要。
   • 原文举例说明：
   • $\sigma_1 = (1, 3, 2)$ 这个置换，根据定义，它的作用是 $1 \to 3, 3 \to 2, 2 \to 1$。所以 $\sigma_1(1)=3$。
   • $\sigma_2 = (1, 2, 3)$ 这个置换，根据定义，它的作用是 $1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 1$。所以 $\sigma_2(1)=2$。
   • 因为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 在元素 1 上的作用结果不同（一个是 3，一个是 2），所以它们是两个完全不同的置换。
   • 结论：对于长度大于等于 3 的循环，改变括号内元素的排列顺序（除了下面将要讲的循环移位外），会得到一个不同的置换。

这部分揭示了循环表示法的一个内在的冗余性：同一个循环可以有多种写法。

1. 循环移位不变性：
   • 一个循环置换的本质是元素之间的“下一个是誰”的关系。
   • 在 $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ 中，这个关系是 $a_1 \to a_2, a_2 \to a_3, \ldots, a_k \to a_1$。
   • 我们来考察 $(a_2, a_3, \ldots, a_k, a_1)$ 这个表示。它定义的关系是 $a_2 \to a_3, a_3 \to a_4, \ldots, a_k \to a_1, a_1 \to a_2$。
   • 仔细观察，这两种表示定义了完全相同的映射关系！它们都描述了同一个置换。
   • 这个规律可以推广：你可以把循环表示的第一个元素拿到末尾，得到一个新的表示，但它代表的置换不变。这个操作可以重复进行。
   • 结论：对于一个 $k$-循环，有 $k$ 种不同的写法，它们都代表同一个置换。这些写法可以通过对元素列表进行循环移位（cyclic shift）得到。
2. 书写规则：
   • 你可以从支持集中的任何一个元素开始写这个循环。
   • 一旦你选定了起始元素（比如 $a_i$），后续的元素就必须严格按照它在置换作用下的轨迹来写：下一个是 $\sigma(a_i)$，再下一个是 $\sigma(\sigma(a_i))$，以此类推，直到回到 $a_i$。
3. 书写惯例：
   • 为了在多种等价的写法中选择一个作为“标准”形式，通常（但不是必须）的惯例是，从该循环支持集中最小的那个数字开始写。
   • 例如，对于置换 $1 \to 3, 3 \to 5, 5 \to 1$，其支持集是 $\{1, 3, 5\}$。虽然 $(1, 3, 5)$, $(3, 5, 1)$, $(5, 1, 3)$ 都对，但我们通常会选择以最小元素 1 开头的 $(1, 3, 5)$ 作为它的规范表示。
   • 需要注意的是，一旦起始元素确定，后面的元素大小是无所谓的，只取决于置换的映射关系。

这部分给出了计算一个循环的逆元的简单规则。

1. 逆元的作用：
   • 一个置换 $\sigma$ 的逆元 $\sigma^{-1}$ 的作用是“撤销” $\sigma$ 的操作。如果 $\sigma$ 把 $i$ 变成 $j$，那么 $\sigma^{-1}$ 必须把 $j$ 变回 $i$。
2. 循环的逆元规则：
   • 原始循环 $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_k)$ 的作用是 $a_1 \to a_2, \ldots, a_{k-1} \to a_k, a_k \to a_1$。
   • 为了撤销这个操作，逆元 $\sigma^{-1}$ 必须做到 $a_2 \to a_1, \ldots, a_k \to a_{k-1}, a_1 \to a_k$。
   • 我们来考察置换 $\tau = (a_k, a_{k-1}, \ldots, a_1)$。它的作用是 $a_k \to a_{k-1}, a_{k-1} \to a_{k-2}, \ldots, a_2 \to a_1, a_1 \to a_k$。
   • 这与我们对逆元的要求完全吻合。
   • 结论：一个循环的逆元，就是将原循环中的元素顺序完全颠倒所得到的新循环。
3. 对换的特殊情况：
   • 对换是 2-循环，形如 $(a_1, a_2)$。
   • 根据上述规则，它的逆元是 $(a_1, a_2)^{-1} = (a_2, a_1)$。
   • 但我们从前面的讨论 (3) 中知道，对于对换，括号内的顺序是无所谓的，即 $(a_2, a_1) = (a_1, a_2)$。
   • 因此，一个对换的逆元就是它本身：$(a_1, a_2)^{-1} = (a_1, a_2)$。
   • 如果一个非单位元的元素的逆元是它自己，那么这个元素的阶一定是 2。因为 $\sigma^{-1}=\sigma \implies \sigma\sigma = \sigma\sigma^{-1} = 1$。
   • 所以，所有对换的阶都是 2。

这部分讨论了 $k$-循环的阶（order），并探讨了其幂的结构。

1. k-循环的阶：
   • 一个置换 $\sigma$ 的阶，是使得 $\sigma^r = 1$（恒等置换）成立的最小正整数 $r$。
   • 对于一个 $k$-循环 $\sigma = (a_1, \ldots, a_k)$，我们来考察它的幂次作用。
   • $\sigma$ 的作用是把支持集中的元素向前“推”一步。
   • $\sigma^2 = \sigma\sigma$ 的作用就是把元素向前“推”两步。
   • $\sigma^r$ 的作用就是把元素向前“推” $r$ 步。
   • 所以，$\sigma^r(a_i) = a_{i+r}$。这里的下标 $i+r$ 需要在模 $k$ 的意义下理解。例如，对于 $(a_1, a_2, a_3, a_4)$，$a_{3+2} = a_5$ 就要理解为 $a_1$。
   • 什么时候 $\sigma^r$ 会变回恒等置换呢？
   • 首先，对于不在支持集中的元素 $j$，任何次幂 $\sigma^r(j)$ 都等于 $j$，它们总是被固定的。
   • 所以，我们只需要考察支持集中的元素。$\sigma^r = 1$ 当且仅当 $\sigma^r(a_i) = a_i$ 对所有 $i=1, \ldots, k$ 成立。
   • $\sigma^r(a_i) = a_{i+r} = a_i$ 意味着下标移动了 $r$ 步之后回到了原位。这当且仅当 $r$ 是循环长度 $k$ 的倍数时才会发生。
   • 使得 $\sigma^r=1$ 的最小正整数 $r$，自然就是 $k$ 本身。
   • 结论：一个长度为 k 的循环的阶恰好是 $k$。
2. 循环的幂：
   • 虽然一个 $k$-循环的阶是 $k$，但它的幂次不一定还是循环。
   • 原文给出了一个关键例子：$\sigma = (1, 2, 3, 4)$，这是一个 4-循环。
   • 计算 $\sigma^2$：
   • $\sigma^2(1) = \sigma(\sigma(1)) = \sigma(2) = 3$。
   • $\sigma^2(3) = \sigma(\sigma(3)) = \sigma(4) = 1$。所以我们有了一个循环 $(1, 3)$。
   • $\sigma^2(2) = \sigma(\sigma(2)) = \sigma(3) = 4$。
   • $\sigma^2(4) = \sigma(\sigma(4)) = \sigma(1) = 2$。所以我们有另一个循环 $(2, 4)$。
   • 因此，$(1, 2, 3, 4)^2 = (1, 3)(2, 4)$。
   • 这是一个由两个不相交的对换（2-循环）组成的乘积，它本身不是一个循环。一个循环只有一个轨道（不计单点轨道），而 $(1,3)(2,4)$ 有两个非平凡轨道 $\{1,3\}$ 和 $\{2,4\}$。

这部分证明了一个非常关键且有用的性质：不相交的循环可以交换顺序。

1. 命题陈述：
   • 如果 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是两个不相交的循环，那么它们的乘积（复合）顺序无关紧要，即 $\sigma_1\sigma_2 = \sigma_2\sigma_1$。在群论中，这叫做可交换（commute）。
2. 证明策略：
   • 要证明两个置换相等，我们必须证明它们对集合 $\{1, \ldots, n\}$ 中的每一个元素 $j$ 的作用都是相同的。
   • 我们将所有元素 $j$ 分为三类来讨论：
3. $j$ 在第一个循环 $\sigma_1$ 的支持集中。
4. $j$ 在第二个循环 $\sigma_2$ 的支持集中。
5. $j$ 两个循环的支持集都不在。
6. 分情况证明：
   • 情况 1: $j$ 在 $\sigma_1$ 的支持集中
   • 设 $j = a_i$，其中 $\operatorname{Supp}(\sigma_1) = \{a_1, \ldots, a_k\}$。
   • 因为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 不相交，所以 $j$ 不在 $\sigma_2$ 的支持集中。这意味着 $\sigma_2$ 固定 $j$ 和 $\sigma_1(j)$。即 $\sigma_2(a_i) = a_i$ 并且 $\sigma_2(a_{i+1}) = a_{i+1}$。
   • 计算 $\sigma_1\sigma_2(j)$: $\sigma_1(\sigma_2(a_i)) = \sigma_1(a_i) = a_{i+1}$。
   • 计算 $\sigma_2\sigma_1(j)$: $\sigma_2(\sigma_1(a_i)) = \sigma_2(a_{i+1}) = a_{i+1}$。
   • 两者结果相同。

• 情况 2: $j$ 在 $\sigma_2$ 的支持集中
• 设 $j = b_r$，其中 $\operatorname{Supp}(\sigma_2) = \{b_1, \ldots, b_l\}$。
• 同理，因为不相交，$\sigma_1$ 固定 $j$ 和 $\sigma_2(j)$。
• 计算 $\sigma_1\sigma_2(j)$: $\sigma_1(\sigma_2(b_r)) = \sigma_1(b_{r+1}) = b_{r+1}$。
• 计算 $\sigma_2\sigma_1(j)$: $\sigma_2(\sigma_1(b_r)) = \sigma_2(b_r) = b_{r+1}$。
• 两者结果相同。

• 情况 3: $j$ 哪个支持集都不在
• 这意味着 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 都固定 $j$。即 $\sigma_1(j)=j$ 且 $\sigma_2(j)=j$。
• 计算 $\sigma_1\sigma_2(j)$: $\sigma_1(\sigma_2(j)) = \sigma_1(j) = j$。
• 计算 $\sigma_2\sigma_1(j)$: $\sigma_2(\sigma_1(j)) = \sigma_2(j) = j$。
• 两者结果相同。

1. 结论：
   • 由于对于 $\{1, \ldots, n\}$ 中的任何一个元素 $j$，都有 $\sigma_1\sigma_2(j) = \sigma_2\sigma_1(j)$，因此我们证明了置换 $\sigma_1\sigma_2$ 和 $\sigma_2\sigma_1$ 是相等的。

(注：原文第一句话有误，应为“相交的循环可能可交换也可能不可交换”。根据上下文和例子，作者意在讨论相交循环的情况。)

这部分通过两个例子，探讨了当两个循环 相交时，它们是否可交换。结论是：不一定。

1. 通常不可交换：
   • 第一个例子是 $(1,2)$ 和 $(1,3)$，它们在元素 1 处相交。
   • 计算 $(1,2)(1,3)$：
   • $1 \xrightarrow{(1,3)} 3 \xrightarrow{(1,2)} 3$
   • $3 \xrightarrow{(1,3)} 1 \xrightarrow{(1,2)} 2$
   • $2 \xrightarrow{(1,3)} 2 \xrightarrow{(1,2)} 1$
   • 结果是 $1 \to 3, 3 \to 2, 2 \to 1$，即循环 $(1,3,2)$。
   • 计算 $(1,3)(1,2)$：
   • $1 \xrightarrow{(1,2)} 2 \xrightarrow{(1,3)} 2$
   • $2 \xrightarrow{(1,2)} 1 \xrightarrow{(1,3)} 3$
   • $3 \xrightarrow{(1,2)} 3 \xrightarrow{(1,3)} 1$
   • 结果是 $1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 1$，即循环 $(1,2,3)$。
   • 因为 $(1,3,2) \neq (1,2,3)$，所以 $(1,2)$ 和 $(1,3)$ 不可交换。这是相交循环的典型情况。
2. 偶尔可交换：
   • 第二个例子是 $\sigma = (1,2,3,4,5)$ 和 $\tau = (1,3,5,2,4)$。这两个 5-循环在所有五个元素上都相交。
   • 原文直接给出了计算结果：
   • $\sigma\tau = (1,4,2,5,3)$
   • $\tau\sigma = (1,4,2,5,3)$
   • 我们来验证 $\sigma\tau$ 的计算：
   • $1 \xrightarrow{\tau} 3 \xrightarrow{\sigma} 4$
   • $4 \xrightarrow{\tau} 1 \xrightarrow{\sigma} 2$
   • $2 \xrightarrow{\tau} 4 \xrightarrow{\sigma} 5$
   • $5 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 3$
   • $3 \xrightarrow{\tau} 5 \xrightarrow{\sigma} 1$
   • 所以 $\sigma\tau = (1,4,2,5,3)$，与原文一致。
   • 同样可以验证 $\tau\sigma$ 也是 $(1,4,2,5,3)$。
   • 这个例子表明，即使两个循环完全相交，它们在某些特殊情况下也可能是可交换的。

这部分介绍并证明了群论中一个极其重要的概念和公式——共轭（conjugation）。

1. 公式的含义：
   • 这个公式描述了用一个置换 $\sigma$ 去“共轭”一个循环 $(a_1, \ldots, a_k)$ 会发生什么。
   • 共轭操作的表达式是 $\sigma \cdot (\text{某物}) \cdot \sigma^{-1}$。
   • 公式表明，结果仍然是一个循环，并且长度不变，还是 $k$-循环。
   • 新循环的内容，是把原循环里的每一个元素 $a_i$ 都用 $\sigma$ 作用一遍，变成 $\sigma(a_i)$。
   • 这个过程可以被形象地理解为：$\sigma$ 对循环 $(a_1, \ldots, a_k)$ 进行了一次“重新命名”或“翻译”。原来的循环是在 $\{a_1, \ldots, a_k\}$ 这个“语言”下描述的，共轭之后，变成了在 $\{\sigma(a_1), \ldots, \sigma(a_k)\}$ 这个新“语言”下描述的、结构完全相同的循环。
2. 证明的逻辑：
   • 为了证明两个置换（即左边的 $\sigma(a_1, \ldots, a_k)\sigma^{-1}$ 和右边的 $(\sigma(a_1), \ldots, \sigma(a_k))$）相等，我们需要证明它们对任何元素 $j$ 的作用都一样。
   • 证明仍然采用分情况讨论的策略：
   • 情况 1: $j$ 在新循环的支持集里。
   • 新循环 $(\sigma(a_1), \ldots, \sigma(a_k))$ 的支持集是 $\{\sigma(a_1), \ldots, \sigma(a_k)\}$。
   • 所以我们设 $j = \sigma(a_i)$。
   • 右边的作用：根据循环定义，右边把 $\sigma(a_i)$ 变成列表中的下一个元素 $\sigma(a_{i+1})$。
   • 左边的作用：我们计算 $\sigma(a_1, \ldots, a_k)\sigma^{-1}(\sigma(a_i))$。
   • 首先，$\sigma^{-1}$ 和 $\sigma$ 抵消，$\sigma^{-1}(\sigma(a_i)) = a_i$。
   • 中间的循环 $(a_1, \ldots, a_k)$ 作用在 $a_i$ 上，得到 $a_{i+1}$。
   • 最后，外面的 $\sigma$ 作用在 $a_{i+1}$ 上，得到 $\sigma(a_{i+1})$。
   • 两边结果都是 $\sigma(a_{i+1})$，所以相等。

• 情况 2: $j$ 不在新循环的支持集里。
• 即 $j \notin \{\sigma(a_1), \ldots, \sigma(a_k)\}$。
• 右边的作用：根据循环定义，右边固定所有不在其支持集中的元素，所以结果是 $j$。
• 左边的作用：我们计算 $\sigma(a_1, \ldots, a_k)\sigma^{-1}(j)$。
• 因为 $j \notin \{\sigma(a_1), \ldots, \sigma(a_k)\}$，两边同时作用 $\sigma^{-1}$ 可得 $\sigma^{-1}(j) \notin \{a_1, \ldots, a_k\}$。
• 所以，中间的循环 $(a_1, \ldots, a_k)$ 固定 $\sigma^{-1}(j)$。
• 整个表达式变成 $\sigma(\sigma^{-1}(j))$。
• $\sigma$ 和 $\sigma^{-1}$ 抵消，结果是 $j$。
• 两边结果都是 $j$，所以相等。
• 两种情况都证明了两边相等，因此公式成立。

这部分提出了对称群中一个最核心、最基本的结构性定理：唯一循环分解定理。

1. 定理陈述：
   • 任何一个非恒等的置换 $\sigma \in S_n$，都可以被写作一串不相交循环的乘积。
   • 这些不相交循环的长度都至少为 2（因为长度为 1 的循环是恒等元，可以省略）。
   • 唯一性：这种分解是“唯一的”。
2. 对“唯一性”的解释：
   • 类比质数分解 (注 1)：这个定理非常类似于算术基本定理（任何大于1的自然数都可以唯一地分解为素数的乘积）。在这里，不相交循环扮演了置换世界里“素数”的角色，它们是构成所有置换的基本、独立的部分。一个本身就是循环的置换，它的分解就是它自己，就像一个素数的质因数分解是它自己一样。
   • 单位元的处理 (注 2)：恒等置换 1 如何处理？它没有任何长度大于等于 2 的不相交循环。我们约定，1 的分解是“空积”，即一个循环都没有的乘积。这类似于在数论中，1 的质因数分解是空积。
   • 顺序的歧义 (注 3)：定理说“顺序是唯一的”。但我们刚刚才证明了不相交循环是可交换的。这意味着如果 $\sigma = c_1 c_2$，其中 $c_1, c_2$ 是不相交循环，那么 $\sigma = c_2 c_1$ 也成立。这难道不违反唯一性吗？
   • 不违反。这里的“唯一”指的是，构成这个乘积的那些循环（因子）是唯一的，而不管你把它们按什么顺序写下来。
   • 更精确的说法是：任何一个置换都对应着一个唯一的不相交循环的集合，这个置换就是这个集合中所有循环的乘积。
   • 例如，如果置换 $\sigma$ 的分解是循环 $(1,2)$ 和 $(3,4)$ 的乘积，那么你可以写成 $(1,2)(3,4)$ 或 $(3,4)(1,2)$，但你不可能把它写成比如 $(1,5)(2,3)$ 这样的分解。因子集合 $\{(1,2), (3,4)\}$ 是确定不变的。

这部分通过分析 $S_4$ 这个具体的群，来实践和展示循环分解理论的应用。它对 $S_4$ 中所有的元素按照它们的循环结构进行了分类和计数。

1. 分类：
   • 根据唯一循环分解定理， $S_4$ 中的任何一个置换都必须是以下五种结构（称为循环类型或共轭类）之一：
2. 恒等元：分解是空积。
3. 2-循环（对换）：形如 $(a,b)$。
4. 3-循环：形如 $(a,b,c)$。
5. 4-循环：形如 $(a,b,c,d)$。
6. 两个不相交的 2-循环的乘积：形如 $(a,b)(c,d)$。
   • 这涵盖了对4个元素进行排列的所有可能结构。例如，不可能有一个 5-循环，也不可能有一个 3-循环和一个 2-循环的乘积（因为 $3+2=5 > 4$）。
7. 计数：
   • 恒等元 (1)：只有 1 个。
   • 对换 (2-循环)：
   • 相当于从 4 个元素中选出 2 个来组成一个对换。
   • 组合数公式：$\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 个。
   • 它们是 $(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)$。
   • 3-循环：
   • 首先，从 4 个元素中选 3 个来构成循环。有 $\binom{4}{3}=4$ 种选法。
   • 对于选出的 3 个元素，比如 $\{1,2,3\}$，可以构成多少个不同的 3-循环？
   • 我们可以从任意一个开始，比如 1。下一个可以是 2 或 3。如果下一个是 2，那么最后一个必须是 3，得到 $(1,2,3)$。如果下一个是 3，那么最后一个必须是 2，得到 $(1,3,2)$。所以对于固定的 3 个元素，有 2 个不同的 3-循环。
   • 总数 = (选元素的方法数) $\times$ (用这些元素构造循环的方法数) = $4 \times 2 = 8$ 个。
   • 原文提供了另一种思路：先考虑有序三元组 $(a_1, a_2, a_3)$ 的数量，这是排列 $P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$。但由于 $(a_1,a_2,a_3) = (a_2,a_3,a_1) = (a_3,a_1,a_2)$，每 3 个有序三元组才对应一个唯一的 3-循环，所以总数是 $24/3=8$ 个。
   • 4-循环：
   • 从 4 个元素中选 4 个，只有 1 种选法。
   • 用这 4 个元素 $\{1,2,3,4\}$ 可以构成多少个 4-循环？
   • 固定第一个元素为 1。剩下的 3 个元素 $\{2,3,4\}$ 可以任意排列，有 $3! = 6$ 种方式。例如 $(1,2,3,4), (1,2,4,3), \ldots$。
   • 所以总数是 6 个。
   • 原文思路：$P(4,4) = 4! = 24$ 个有序四元组。每个 4-循环有 4 种等价写法，所以总数是 $24/4=6$ 个。
   • 两个不相交的 2-循环：
   • 形如 $(a,b)(c,d)$。
   • 首先，从 4 个元素中选 2 个组成第一个对换 $(a,b)$，有 $\binom{4}{2}=6$ 种方法。
   • 一旦选定了 $(a,b)$，剩下的两个元素 $c,d$ 就自动确定了。
   • 但是，$(a,b)(c,d)$ 和 $(c,d)(a,b)$ 是同一个置换（因为它们是不相交的，可交换）。我们的计数方法把这两种情况都算了一遍。
   • 所以需要将总数除以 2。得到 $6/2=3$ 个。
   • 这 3 个元素是 $(1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)$。
8. 验证：
   • 将所有类型的元素数量加起来：$1 (\text{恒等元}) + 6 (\text{对换}) + 8 (\text{3-循环}) + 6 (\text{4-循环}) + 3 (\text{2,2-循环积}) = 24$。
   • 这个总数等于 $S_4$ 的总元素数 $4! = 24$。计数正确。

这部分将前面提到的二面体群 $D_4$ 与 $S_4$ 中具体的循环表示联系起来。

1. $D_4$ 的背景：
   • $D_4$ 是正方形的对称群，有 8 个元素。这些元素是能使正方形恢复原状的旋转和翻转操作。
2. 将几何操作转化为置换：
   • 我们给正方形的四个顶点按逆时针顺序编号为 1, 2, 3, 4。
   • $D_4$ 中的每个操作都会引起顶点的重新排列，即一个 $S_4$ 中的置换。
   • 旋转：
   • 旋转 $0^\circ$：所有顶点不动。对应恒等元 1。
   • 旋转 $90^\circ$：$1\to2, 2\to3, 3\to4, 4\to1$。对应 4-循环 $(1,2,3,4)$。
   • 旋转 $180^\circ$：$1\to3, 3\to1$ 且 $2\to4, 4\to2$。对应两个不相交对换的乘积 $(1,3)(2,4)$。
   • 旋转 $270^\circ$：$1\to4, 4\to3, 3\to2, 2\to1$。对应 4-循环 $(1,4,3,2)$。
   • 翻转：
   • 沿水平中线翻转：$1\leftrightarrow4, 2\leftrightarrow3$。对应 $(1,4)(2,3)$。
   • 沿垂直中线翻转：$1\leftrightarrow2, 3\leftrightarrow4$。对应 $(1,2)(3,4)$。
   • 沿主对角线 (1-3) 翻转：2和4交换位置。对应对换 $(2,4)$。
   • 沿副对角线 (2-4) 翻转：1和3交换位置。对应对换 $(1,3)$。
3. $D_4$ 子群的构成：
   • 将上述 8 个置换收集起来，就得到了 $S_4$ 中同构于 $D_4$ 的那个子群。
   • 这个集合包含了 $S_4$ 中各种循环类型的元素：恒等元、4-循环、两个不相交的对换、单个对换。但它不包含 3-循环。

这部分从一个实例出发，详细介绍了一个将任意置换（以矩阵形式给出）分解为不相交循环乘积的实用算法。

1. 算法思想：
   • 算法的核心是“追踪路径”。一个置换会将元素连接成一条或多条“锁链”，这些“锁链”最终都会闭合成环。我们的任务就是把这些环一个个找出来。
2. 算法步骤：
   • 第一步：选择一个起点。从集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 中选择一个你还没有处理过的元素。通常，我们从 1 开始。
   • 第二步：追踪路径。
   • 从你的起点（比如 1）出发，查看置换把它映射到哪里。在例子中，$\sigma(1)=3$。
   • 现在，把 3 作为新的当前位置，看它被映射到哪里。$\sigma(3)=5$。
   • 继续这个过程：$\sigma(5)=1$。
   • 当你发现映射的结果回到了这个路径的起点（1），一个循环就找到了。
   • 第三步：写下循环。将你追踪过的路径上的所有元素按顺序写成一个循环。在例子中，我们找到了 $(1,3,5)$。
   • 第四步：寻找新起点。从那些还没有出现在已找到的循环中的元素里，任选一个作为新的起点。在例子中，$\{1,3,5\}$ 已经被处理，我们从未处理的元素中选最小的，即 2。
   • 第五步：重复追踪。重复第二步和第三步。
   • 从 2 开始追踪：$2 \to 6 \to 4 \to 7 \to 9 \to 2$。
   • 路径闭合了，我们找到了一个新的循环 $(2,6,4,7,9)$。
   • 第六步：继续重复。再次从未处理的元素中寻找新起点。此时，$\{1,2,3,4,5,6,7,9\}$ 都已被处理，只剩下 8。
   • 第七步：处理固定点。
   • 从 8 开始追踪：$\sigma(8)=8$。路径立刻闭合。
   • 这形成了一个 1-循环 $(8)$。
   • 第八步：完成分解。当所有元素都被处理过之后，将所有找到的长度大于等于 2 的循环乘在一起，就是最终的分解。
   • 在例子中，我们找到了 $(1,3,5)$ 和 $(2,6,4,7,9)$。1-循环 $(8)$ 按惯例省略。
   • 所以，$\sigma = (1,3,5)(2,6,4,7,9)$。
   • 因为它们是不相交的，所以也可以写成 $(2,6,4,7,9)(1,3,5)$。

这部分为前面介绍的“追踪路径”算法提供了理论基础，引入了核心概念——轨道（Orbit）。

1. 引入新概念的动机：
   • 前面的算法是操作性的，描述了“怎么做”。
   • 现在，我们需要一个理论工具来精确描述算法找到的那些“环路”是什么，并用它来严格证明循环分解定理。这个工具就是“轨道”。
2. 定义关系 $\sim_\sigma$：
   • 对于一个固定的置换 $\sigma$，我们可以在集合 $\{1, \ldots, n\}$ 的元素之间定义一种新的关系，记作 $\sim_\sigma$。
   • 两个元素 $i$ 和 $j$ 被认为是相关的（$i \sim_\sigma j$），如果我们可以通过反复应用 $\sigma$ 或其逆元 $\sigma^{-1}$，从 $i$ 到达 $j$。
   • “反复应用”被精确地描述为：存在一个整数 $a$（可以是正、负或零），使得 $\sigma^a(i) = j$。
   • 如果 $a>0$，意味着从 $i$ 开始，应用 $\sigma$ 共 $a$ 次可以得到 $j$。
   • 如果 $a<0$，意味着应用 $\sigma^{-1}$ 共 $|a|$ 次可以得到 $j$。
   • 如果 $a=0$，意味着 $\sigma^0(i) = i = j$。
3. 定义轨道 $O_\sigma(i)$：
   • 一个元素 $i$ 在 $\sigma$ 作用下的轨道，记作 $O_\sigma(i)$，是所有与 $i$ 相关的元素的集合。
   • 换句话说，轨道 $O_\sigma(i)$ 就是从 $i$ 出发，通过任意次应用 $\sigma$ 或 $\sigma^{-1}$ 所能到达的所有元素的集合。
   • 这正是我们之前算法中“追踪路径”所找到的那个元素集合。
4. 轨道的基本性质：
   • 轨道在 $\sigma$ 作用下是封闭的：$\sigma(O_\sigma(i)) = O_\sigma(i)$。
   • 取轨道中任意一个元素 $\sigma^a(i)$，用 $\sigma$ 作用在它上面，得到 $\sigma(\sigma^a(i)) = \sigma^{a+1}(i)$。这显然仍然在轨道的定义范围之内。
   • 所以，$\sigma$ 将轨道中的元素映射到轨道自身，它不会把轨道内的元素“扔”到轨道外去。
   • $\sigma$ 在轨道上是双射：因为 $\sigma$ 在整个集合 $\{1, \ldots, n\}$ 上是双射，那么它在任何一个子集（如 $O_\sigma(i)$）上的限制，只要像集等于定义域（上面已证明），就必然也是一个双射。

这部分证明了上一节定义的关系 $\sim_\sigma$ 是一种等价关系，从而得出一个重要结论：轨道是对集合 $\{1, \ldots, n\}$ 的一种划分。

1. 命题陈述：
   • 关系 $\sim_\sigma$ (“可以通过 $\sigma$ 的幂次相互到达”) 是一个等价关系。
   • 一个元素 $i$ 的等价类（所有与 $i$ 等价的元素构成的集合）就是 $i$ 的轨道 $O_\sigma(i)$。
2. 回顾等价关系：
   • 一个关系要成为等ga关系，必须满足三个性质：
   • 自反性 (Reflexive): 每个元素都与自身相关 ($i \sim i$)。
   • 对称性 (Symmetric): 如果 $i$ 与 $j$ 相关，那么 $j$ 也必须与 $i$ 相关 ($i \sim j \implies j \sim i$)。
   • 传递性 (Transitive): 如果 $i$ 与 $j$ 相关，且 $j$ 与 $k$ 相关，那么 $i$ 也必须与 $k$ 相关 ($i \sim j \text{ and } j \sim k \implies i \sim k$)。
3. 证明 $\sim_\sigma$ 是等价关系：
   • 证明自反性:
   • 我们需要证明 $i \sim_\sigma i$。
   • 根据定义，这意味着需要找到一个整数 $a$ 使得 $\sigma^a(i)=i$。
   • 取 $a=0$ 即可，因为 $\sigma^0 = 1$ (恒等置换)，所以 $\sigma^0(i) = i$。
   • 因此，自反性成立。
   • 证明对称性:
   • 我们假设 $i \sim_\sigma j$，需要证明 $j \sim_\sigma i$。
   • $i \sim_\sigma j$ 意味着存在整数 $a$ 使得 $\sigma^a(i) = j$。
   • 对这个等式两边同时作用 $\sigma^{-a}$：$\sigma^{-a}(\sigma^a(i)) = \sigma^{-a}(j)$。
   • 左边等于 $\sigma^0(i) = i$。所以我们得到 $i = \sigma^{-a}(j)$。
   • 因为 $a$ 是整数，所以 $-a$ 也是整数。
   • 这完全符合 $j \sim_\sigma i$ 的定义。因此，对称性成立。
   • 证明传递性:
   • 我们假设 $i \sim_\sigma j$ 且 $j \sim_\sigma k$，需要证明 $i \sim_\sigma k$。
   • $i \sim_\sigma j$ 意味着存在整数 $a$ 使得 $\sigma^a(i) = j$。
   • $j \sim_\sigma k$ 意味着存在整数 $b$ 使得 $\sigma^b(j) = k$。
   • 我们将第一个式子代入第二个式子：$k = \sigma^b(j) = \sigma^b(\sigma^a(i))$。
   • 根据指数法则，$\sigma^b(\sigma^a(i)) = \sigma^{b+a}(i)$。所以 $k = \sigma^{a+b}(i)$。
   • 因为 $a$ 和 $b$ 是整数，所以 $a+b$ 也是整数。
   • 这完全符合 $i \sim_\sigma k$ 的定义。因此，传递性成立。
4. 结论：
   • 因为 $\sim_\sigma$ 同时满足自反、对称、传递性，所以它是一个等价关系。
   • 根据等价关系的定义，一个元素 $i$ 的等价类 $[i]$ 是集合中所有与 $i$ 等价的元素 $j$ 的集合。这与轨道 $O_\sigma(i)$ 的定义（所有可以通过 $\sigma^a$ 从 $i$ 到达的元素 $j$ 的集合）完全相同。